Álgebra linear Exemplos

$\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{\sin (x)}{x} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.5

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 2 π n, π + 2 π n$

Etapa 2.9

Consolide as soluções.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$

Etapa 2.10

Encontre o domínio de $\frac{\sin (x)}{x}$ .

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Etapa 2.10.1

Defina o denominador em $\frac{\sin (x)}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.10.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 2.11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 3 π$

Etapa 2.12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.12.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.12.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{\sin (2)}{2} \geq 0$

Etapa 2.12.1.3

O lado esquerdo $0.45464871$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.12.2

Teste um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.2.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 2.12.2.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{\sin (5)}{5} \geq 0$

Etapa 2.12.2.3

O lado esquerdo $- 0.19178485$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.12.3

Teste um valor no intervalo $2 π < x < 3 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 π < x < 3 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 2.12.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{\sin (8)}{8} \geq 0$

Etapa 2.12.3.3

O lado esquerdo $0.12366978$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < π$ Verdadeiro

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 3 π$ Verdadeiro

$0 < x < π$ Verdadeiro

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 3 π$ Verdadeiro

Etapa 2.13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + 2 π n \leq x \leq π + 2 π n$ ou $2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.14

Combine os intervalos.

$2 π n \leq x \leq π + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{\sin (x)}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 5